新教材2014年四川省雅安市中考数学试题（含答案解析）word版 |
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四川省雅安市2013年中考数学试题(word版含答案解析)
一、选择题(12×3=36分)
1、(2013?雅安)﹣3的相反数是( )
A、 B、
C、3 D、﹣3
考点：相反数。
专题：应用题。
分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算可.
解答：解：(﹣3)+3=0.
故选C.
点评：本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比较简单.
2、(2013?雅安)光的传播速度为300000km/s，该数用科学记数法表示为( )
A、3×105 B、0.3×106
C、3×106 D、3×10﹣5
考点：科学记数法-表示较大的数。
专题：计算题。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.
解答：解：∵300 000=3×105，
故选A.
点评：本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3、(2013?雅安)下列运算正确的是( )
A、a3?a3=2a3 B、a3+a3=a6
C、(﹣2x)3=﹣6x3 D、a6÷a2=a4
考点：同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方。
专题：计算题。
分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减;合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变;同底数幂的乘法，底数不变指数相加;幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解.
解答：解：A、a3?a3=a3+3=a6同底数幂的乘法，底数不变指数相加;故本选项错误;
B、a3+a3=2a3合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变;故本选项错误;
C、(﹣2x)3=﹣8x3幂的乘方，底数不变指数相乘.故本选项错误;
D、a6÷a2=a4同底数幂的除法，底数不变指数相减;故本选项正确.
故选D.
点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题.
4、(2013?雅安)由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是( )
A、 B、
C、 D、
考点：简单组合体的三视图。
分析：根据题意，先理解给出的几何体的三视图是怎样的，利用空间想象能力易解答.
解答：解：该几何体由四个小正方体组成，第一行有3个小正方体，故它的俯视图为B.故选B.
点评：首先分清楚几何体由几个正方体组成，然后分清楚它的三视图，继而求解.
5、(2013?雅安)如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，若∠1=72°，∠2=58°，则∠3=( )
A、45° B、50°
C、60° D、58°
考点：平行线的性质。
专题：证明题。
分析：根据两直线l1∥l2，推知内错角∠3=∠5;然后由对顶角∠2=∠4、三角形内角和定理以及等量代换求得∠3=50°.
解答：解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠5(两直线平行，内错角相等);
又∵∠2=∠4(对顶角)，∠1=72°，∠2=58°，
∴∠5=50°(三角形内角和定理)，
∴∠3=50°(等量代换).
故选B.
点评：本题考查是平行线的性质：两直线平行，内错角相等.
6、(2013?雅安)点P关于x轴对称点为P1(3，4)，则点P的坐标为( )
A、(3，﹣4) B、(﹣3，﹣4)
C、(﹣4，﹣3) D、(﹣3，4)
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标。
专题：应用题。
分析：根据"关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数"即可求解.
解答：解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点P的坐标为(3，﹣4).
故选A.
点评：本题考查关于x轴对称的点的坐标的特点，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，比较简单.
7、(2013?雅安)一组数据为1，5，3，4，5，6，这组数据的极差、众数、中位数分别为( )
A、，4，5 B、5，5，4.5
C、5，5，4 D、5，3，2
考点：极差;中位数;众数。
专题：计算题。
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个.
解答：解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：1，3，4，5，5，6.
位于最中间的数是4和5，
∴这组数的中位数是4.5.
这组数出现次数最多的是5，
∴这组数的众数是5
极差为：6﹣1=5.
故选B.
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.
8、(2013?雅安)已知线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长为( )
A、 B、
C、 D、
考点：黄金分割。
专题：计算题。
分析：根据黄金分割的定义得到AC=AB，把AB=10cm代入计算即可.
解答：解：∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，
∴AC=AB，
而AB=10cm，
∴AC=×10=(5﹣5)cm.
故选C.
点评：本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点.
9、(2013?雅安)如图，D、E、F分别为△ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为( )
A、△ADE∽△ABC B、S△ABF=S△AFC
C、 D、DF=EF
考点：三角形中位线定理;三角形的面积;相似三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：根据三角形的中位线定理，可得出DE∥BC，DE=BC，再根据三角形的面积公式，△ADE与△AFC等底同高，从而得出答案.
解答：解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
S△ADE=S△ABC，
∴S△ABF=S△AFC，
故选D.
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理以及三角形的面积，是基础知识要熟练掌握.
10、(2013?雅安)已知一次函数y=kx+b，k从2，﹣3中随机取一个值，b从1，﹣1，﹣2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为( )
A、 B、
C、 D、
考点：列表法与树状图法;一次函数的性质。
分析：根据已知画出树状图，再利用一次函数的性质该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k<0，b<0，即可得出答案.
解答：解：∵k从2，﹣3中随机取一个值，b从1，﹣1，﹣2中随机取一个值，
∴可以列出树状图：
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k<0，b<0，
∴当k=﹣3，b=﹣1时符合要求，
∴当k=﹣3，b=﹣2时符合要求，
∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为：，
故选：A.
点评：此题主要考查了一次函数的性质以及树状图法求概率，熟练的应用一次函数知识得出k，b的符号是解决问题的关键.
11、(2013?雅安)已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=( )
A、 B、
C、 D、
考点：圆周角定理;锐角三角函数的定义。
专题：推理填空题。
分析：作辅助线(连接AO并延长交圆于E，连CE) 构造直角三角形ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值;然后由同弧所对的的圆周角相等知∠B=∠E;最后由等量代换求得∠B的正弦值，并作出选择.
解答：解：连接AO并延长交圆于E，连CE.
∴∠ACE=90°(直径所对的圆周角是直角);
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E==;
又∵∠B=∠E(同弧所对的的圆周角相等)，
∴sinB=.
故选D.
点评：本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义.在求锐角三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可.
12、(2013?雅安)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a﹣b+c<0，则正确的结论是( )
A、①②③④ B、②④⑤
C、②③④ D、①④⑤
考点：二次函数图象与系数的关系。
专题：计算题。
分析：根据抛物线与x轴的交点情况，抛物线的开口方向，对称轴及与y轴的交点，当x=±1时的函数值，逐一判断.
解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac>0，即b2>4ac，故①正确;
∵抛物线对称轴为x=﹣<0，与y轴交于负半轴，∴ab>0，c<0，abc<0，故②错误;
∵抛物线对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故③错误;
∵当x=1时，y>0，即a+b+c>0，故④正确;
∵当x=﹣1时，y<0，即a﹣b+c<0，故⑤正确;
正确的是①④⑤.
故选D.
点评：本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系.关键是会利用对称轴的值求2a与b的关系，对称轴与开口方向确定增减性，以及二次函数与方程之间的转换.
二、填空(5×3=15分)
13、(2013?雅安)随意掷一枚正反方体骰子，均落在图中的小方格内(每个方格除颜色外完全相同)，那么这枚骰子落在中阴影小方格中的概率为.
考点：几何概率。
专题：计算题。
分析：根据面积法：求出骰子落在黑色方格的面积与总面积的比即可解答.
解答：解：∵共有9个方格，其中黑色方格占4个，
∴这粒豆子停在黑色方格中的概率是.
故答案为：.
点评：此题考查几何概率的求法：概率=相应的面积与总面积之比.
14、(2013?雅安)分解因式：x3﹣6x2+9x= x(x﹣3)2.
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式套用公式继续分解.
解答：解：x3﹣6x2+9x=x(x2﹣6x+9)=x(x﹣3)2.
点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.
15、(2013?雅安)将二次函数y=(x﹣2)2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为 y=(x﹣4)2+1. .
考点：二次函数图象与几何变换。
专题：几何变换。
分析：先得到y=(x﹣2)2+3的顶点坐标为(2，3)，然后把点(2，3)向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到(4，1);再根据抛物线的顶点式：y=a(x﹣h)2+k(a≠0)直接写出解析式.
解答：解：∵y=(x﹣2)2+3的顶点坐标为(2，3)，
∴把点(2，3)向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到(4，1);
而平移的过程中，抛物线的形状没改变，
∴所得的新抛物线的解析式为：y=(x﹣4)2+1.
故答案为：y=(x﹣4)2+1.
点评：本题考查了抛物线的几何变换：抛物线的平移问题可转化为其顶点的平移问题，抛物线的顶点式：y=a(x﹣h)2+k(a≠0)，则抛物线的顶点坐标为(h，k).
16、(2013?雅安)在一列数a1，a2，a3...中，a2﹣a1=a3﹣a2=a4﹣a3=...=，则a19= a1+.
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：观察这一列数，由已知得：a2﹣a1=，a3﹣a2=，a4﹣a3=，...，a19﹣a18=，则得：a2﹣a1+a3﹣a2+a4﹣a3+...+a19﹣a18=×18，从而求出a19.
解答：解：由已知通过观察得：
：a2﹣a1=，
a3﹣a2=，
a4﹣a3=，
...，
a19﹣a18=，
则得：a2﹣a1+a3﹣a2+a4﹣a3+...+a19﹣a18=×18，
所以得：a19=a1+.
故答案为：a1+.
点评：此题考查的知识点是数字变化类问题，解题的关键是由已知写成每个算式等于，把每个等式的左边相加等于右边相加，求出答案.
17、(2013?雅安)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为(8，4)，则C点的坐标为 (3，4) .
考点：菱形的性质;坐标与图形性质。
分析：首先由四边形ABCD是菱形，可得OC=OA=AB=BC，BC∥OA，然后过点B作BD⊥OA于D，设AB=x，则OA=x，AD=8﹣x，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求得BC的长，则可得C点的坐标.
解答：解：过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=AB=BC，BC∥OA，
设AB=x，则OA=x，AD=8﹣x，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
即x2=(8﹣x)2+16，
解得：x=5，
∴BC=5，
∴C点的坐标为(3，4).
故答案为：(3，4).
点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理的应用.解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.
三、解答题(69分)
18、(2013?雅安)计算：.
考点：实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.
解答：解：原式=2+﹣1+=1+.
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等考点的运算.
19、(2013?雅安)先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算..
考点：分式的化简求值。
专题：开放型。
分析：本题涉及分式的化简求值，先将括号里的分式加减，然后乘除，将x=1，﹣1，﹣2任意一个代入化简后的分式，计算即可.
解答：解：原式=×=(x+2)×=2x;
观察分式可知x≠2且x≠0，
将x=1代入原式=2×1=2.，
点评：本题主要考查了分式的化简求值，先乘除约去公分母，再加减，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算，属于基础题.
20、(2013?雅安)某部门为了给员工普及电脑知识，决定购买A、B两种电脑，A型电脑单价为4800元，B型电脑单价为3200元，若用不超过160000元去购买A、B型电脑共36台，要求购买A型电脑多于25台，有哪几种购买方案?
考点：一元一次不等式组的应用。
分析：首先根据题意找出不等关系：①A型电脑的花费+B型电脑的花费≤160000元，购买A型电脑>25台，列出不等式组，求出解集即可得到答案.
解答：解：设购买A种电脑x台，则购买B种电脑(36﹣x)台，由题意得：
，
解得：25
∵x必须求整数，
∴x=26，27，28，
∴购买B种电脑：10，9，8，
答，可以有3种购买方案，①购买A种电脑26，台，则购买B种电脑10台，②购买A种电脑27台，则购买B种电脑9台，③购买A种电脑28台，则购买B种电脑8台.
点评：此题主要考查了不等式组的应用，关键是找出题目中的不等关系，列出不等式组.
21、(2013?雅安)某初中数学老师要从甲乙两位学生中选一名参加数学竞赛，甲乙两人前5学期的数学成绩如下表，
(1)分别求出甲乙二人前五学期的数学平均成绩.
(2)在下图中分别画出甲、乙前五学期数学成绩折线图.
(3)如果你是老师，你认为该选哪位学生参加数学竞赛?请简要说明理由.
考点：折线统计图;算术平均数;方差。
专题：图表型;操作型。
分析：(1)根据平均数的求法，用所有数据之和再除以数据的个数即可解答.
(2)根据折线统计图的画法，依次描点连线即可，注意区分甲乙.
(3)由于平均成绩相同，所以要看谁的呈上升趋势，读折线统计图可知.
解答：解：(1)甲(75+80+85+90+95)÷5=85，
乙(75+80+87+88+95)÷5=85.
(2)如图
(3)派甲去，因为甲的成绩呈上升趋势，而乙的成绩呈下降趋势.
点评：本题考查了折线图的意义和平均数的概念.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标.解答平均数应用题的关键在于确定"总数量"以及和总数量对应的总份数.
22、(2013?雅安)如图，在?ABCD中，E，F分别是BC，AD中点.
(1)求证：△ABE≌△CDF;
(2)当BC=2AB=4，且△ABE的面积为，求证：四边形AECF是菱形.
考点：平行四边形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;菱形的判定;锐角三角函数的定义。
专题：证明题。
分析：(1)根据平行四边形的性质得到AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，推出DF=BE，根据SAS即可推出答案;
(2)过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积求出AH，根据锐角三角函数求出∠B，得出等边三角形AEB，推出AE=BE=AB，推出AF=CF=CE=AE即可.
解答：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，
∵E，F分别是BC，AD中点，
DF=DA，BE=CB，
∴DF=BE，
∵AB=DC，∠B=∠D，
∴△ABE≌△CDF.
(2)证明：
过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为，
∴BE=AB=2，×EB×AH=，
∴AH=，
∴sinB=，
∴∠B=60°，
∴AB=BE=AE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形.
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
23、(2013?雅安)如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B(﹣2，3)，BC⊥x轴于C，四边形OABC面积为4.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值.(直接写出结果)
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：计算题。
分析：(1)先设出反比例函数和一次函数的解析式：y=和y=ax+b，把点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可;
(2)两个解析式联立，求得点D的坐标即可;
(3)利用函数图象求出分别得出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
解答：解：(1)设反比例函数的解析式y=和一次函数的解析式y=ax+b，图象经过点B，
∴k=﹣6，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
又四边形OABC面积为4.
∴(OA+BC)OC=8，
∵BC=3，OC=2，
∴OA=1，
∴A(0，1)
将A、B两点代入y=ax+b有
解得
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1，
(2)联立组成方程组得，
解得x=﹣2或3，
∴点D(3，﹣2)
(3)x<﹣2或0
点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象判定函数的大小关系是中学的难点同学们应重点掌握.
24、(2013?雅安)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
(1)求证：DE是⊙O的切线;
(2)如果BC=8，AB=5，求CE的长.
考点：切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：(1)连接OD，只要证明OD⊥DE即可;
(2)连接AD构造直角三角形ACD，根据相似三角形的判定定理AA判定Rt△ACD∽Rt△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例得，=;最后根据三角形中位线的判定与性质求得CD的长度，从而求得CE的长.
解答：解：(1)证明：连接OD.
∵OD=OB?(⊙O的半径)，
∴∠B=∠ODB(等边对等角);
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角);
∴∠C=∠ODB(等量代换)，
∴OD∥AC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠ODE=∠DEC(两直线平行，内错角相等);
∵DE⊥AC(已知)，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线;
(2)连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角);
∴AD⊥CD;
在Rt△ACD和Rt△DCE中，
∠C=∠C(公共角)，
∠CED=∠CDA=90°，
∴Rt△ACD∽Rt△DCE(AA)，
∴=;
又由(1)知，OD∥AC，O是AB的中点，
∴OD是三角形ABC的中位线，
∴CD=BC;
∵BC=8，AB=5，AB=AC，
∴CE=.
点评：本题综合考查了切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的判定与性质.解答(2)时，还可以利用射影定理来求CE的长度.
25、(2013?雅安)如图，已知二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图象的顶点M在反比例函数上，且与x轴交于AB两点.
(1)若二次函数的对称轴为，试求a，c的值;
(2)在(1)的条件下求AB的长;
(3)若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式.
考点：二次函数综合题。
分析：(1)根据对称轴x=﹣=﹣，求得二次函数y=ax2+2x+c(a>0)中的a，再根据顶点在反比例函数上，求出c即可;
(2)求得抛物线与x轴的交点坐标，再用点B的横坐标减去点A的横坐标即可.
(3)可用含有a的式子表示点M、N的坐标，即求出a的值，再求得解析式.
解答：解：(1)∵二次函数的对称轴为，
∴﹣=﹣，
解得a=2，
∵二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图象的顶点M在反比例函数上，
∴顶点为(﹣，c﹣)，
∴(c﹣)=﹣3，
解得c=﹣，
∴二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣;
(2)∵二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣;
∴令y=0，2x2+2x﹣=0;
解得x=.
∴AB==2;
(3)根据对称轴x=﹣，当x=﹣时，y=﹣3a，
∴NO+MN=+3a≥2=2，当3a=时NO+MN最小，
即3a2=1时，a=，
∴此时二次函数的解析式为y=x2+2x+3.
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有最值问题和两点之间的距离等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题.
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