新教材2014年湖南省衡阳市中考数学试题（WORD版及答案）word版 |
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2013 年衡阳市初中学业水平考试试题
数 学
一、选择题(本大题10个小题，每小题3分，满分30分)在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.)
1. (2013湖南衡阳，1，3分)的相反数是 ( )
A. B.5 C.-5 D.-
【答案】D
2. (2013湖南衡阳，2，3分)某市在一次扶贫助残活动中，共捐款3185800元，将3185800元用科学记数法表示(保留两个有效数字)为( )
A.3.1×元 B.3.1×元 C.3.2×元 D.3.18×元
【答案】C
3. (2013湖南衡阳，3，3分)如图所示的几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】B
4. (2013湖南衡阳，4，3分)下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
5. (2013湖南衡阳，5，3分)下列计算，正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
6. (2013湖南衡阳，6，3分)函数中自变量x的取值范围是( )
A.≥-3 B.≥-3且 C. D.且
【答案】B
7. (2013湖南衡阳，7，3分)下列说法正确的是( )
A.在一次抽奖活动中，"中奖的概率是"表示抽奖100次就一定会中奖
B.随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上
C.同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6
D.在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是
【答案】D
8. (2013湖南衡阳，8，3分)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P坐标是(3，4)，则顶点M、N的坐标分别是( )
A.M(5，0)，N(8，4) B.M(4，0)，N(8，4)
C.M(5，0)，N(7，4) D.M(4，0)，N(7，4)
【答案】A
9. (2013湖南衡阳，9，3分)如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是( )
A.10m B.10m C.15m D.5m
【答案】A
10.(2013湖南衡阳，10，3分)某村计划新修水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务，若设原计划每天修水渠米，则下面所列方程正确的是( )[21世纪教育网
A. B. C. D.
【答案】C
二、填空题 (本大题8个小题，每小题3分，满分24分)
11.(2013湖南衡阳，11，3分)计算 .
【答案】
12.(2013湖南衡阳，12，3分)某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为 .21世纪教育网
【答案】
13.(2013湖南衡阳，13，3分)若，，则的值为 .
【答案】 10
14.(2013湖南衡阳，14，3分)甲乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在6天众每天生产零件中的次品数依次是：甲：3、0、0、2、0、1、;乙：1、0、2、1、0、2.则甲、乙两台机床中性能较稳定的是 .
【答案】乙
15.(2013湖南衡阳，15，3分)如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为(2，0)，则下列说法：①随的增大而减小;②>0;③关于的方程的解为.其中说法正确的有 (把你认为说法正确的序号都填上).
[来源:21世纪教育网]
【答案】 ①②③
16.(2013湖南衡阳，16，3分)如图，⊙的直径过弦的中点G，∠EOD=40°，则∠FCD的度数为 .
【答案】 20
17.(2013湖南衡阳，17，3分)如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 .
【答案】 8
18.(2013湖南衡阳，18，3分)如图所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为，△ABP的面积为，如果关于的函数图象如图所示，那么△ABC的面积是 .
【答案】 10
三、解答题(本大题共有9个小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19.(2013湖南衡阳，19，6分)先化简，再求值.，其中.
【解】原式==，
当时，原式==+1=.
20.(2013湖南衡阳，20，6分)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
【解】 由①得≤3，由②得，不等式组的解集为.解集在数轴上表示为
21.(2013湖南衡阳，21，6分)如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F.求证：BE=CF.
【证明】∵在△ABC中，AD是中线，
∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD=∠BED=90° ，在△BED与△CFD中，∵∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF.
22.(2013湖南衡阳，22，6分)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?
【解】 设李大叔去年甲种蔬菜种植了亩，乙种蔬菜种植了亩，则，解得，答李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩，乙种蔬菜种植了4亩.
23.(2013湖南衡阳，23，6分)我国是世界上严重缺水的国家之一，2013年春季以来，我省遭受了严重的旱情，某校为了组织"节约用水从我做起"活动，随机调查了本校120名同学家庭月人均用水量和节水措施情况，如图10、图11是根据调查结果做出的统计图的一部分.
请根据信息解答下列问题：
(1)图10中淘米水浇花所占的百分比为 ;
(2)图10中安装节水设备所在的扇形的圆心角度数为 ;
(3)补全图11
(4)如果全校学生家庭总人数为3000人，根据这120名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量是多少吨?
图10
图11
【解】 (1)15﹪;(2)108°;
(3) 120-10-41-33-16=20，如下图：
(4)(30×1+41×2+20×3+33×4+16×5)÷120=3.2
3.2×3000=9600(吨)
答：全校学生家庭月用水总量是9600吨.
24.(2013湖南衡阳，24，8分)如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D.
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长.
【解】 (1) CD与⊙O的位置关系是相切，理由如下：
作直径CE，连结AE.
∵CE是直径， ∴∠EAC=90°，∴∠E+∠ACE=90°，
∵CA=CB，∴∠B=∠CAB，∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，∵∠B=∠E，∠ACD=∠E，[来源:21世纪教育网]
∴∠ACE+∠ACD=90°，即∠DCO=90°，
∴OC⊥D C，∴CD与⊙O相切.
(2)∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B，
又∠ACB=120°，∴∠OCA=∠OCB=60°，
∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，
∴∠DOA=60°，
∴在Rt△DCO中， =，
∴DC=OC=OA=2.
25.(2013湖南衡阳，25，8分)如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0，)，B(2，0)直线AB与反比例函数的图像交与点C和点D(-1，a).
(1)求直线AB和反比例函数的解析式;
(2)求∠ACO的度数;
(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角(α为锐角)，得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长.
【解】(1)设直线AB的解析式为，将A(0，)，B(2，0)代入解析式中，得，解得.∴直线AB的解析式为;将D(-1，a)代入得，∴点D坐标为(-1，)，将D(-1，)代入中得，∴反比例函数的解析式为.
(2)解方程组得，，∴点C坐标为(3，)，
过点C作CM⊥轴于点M，则在Rt△OMC中，
，，∴，∴，
在Rt△AOB中，=，∴，
∴∠ACO=.
[来源:21世纪教育网]
(3)如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，
∴= ∠COC′=90°-30°=60°，∠BOB′==60°，
∴∠AOB′=90°-∠BOB′=30°，∵ ∠OAB=90°-∠ABO=30°，
∴∠AOB′=∠OAB，
∴AB′= OB′=2.
答：当α为60度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长为2.
26.(2013湖南衡阳，26，10分)如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m>4)，点P是AB边上的任意一点(不与A、B重合)，连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q.
(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在，求出此时AP的长;若不存在，说明理由;
(2)连结AC，若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示)
(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围.
【解】(1) 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合(如下图)，
∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD+∠BPC=90°，
又∠ADP+∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP，
又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴，
∴，∴或8，∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8.
(2) 如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴，即，∴.
∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，，即，∴.
(3)由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形(如图)，
∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP，
∴PB=DA=4，AP=BQ=，
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：S四边形PQCD= S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP=
==16(4<≤8).
27.(2013湖南衡阳，27，10分)已知抛物线.
(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D.
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?若存在，求出点P的坐标;若不存在，说明理由;
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
【解】 (1)====，∵不管m为何实数，总有≥0，∴=>0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x=3，∴，
抛物线的解析式为=，顶点C坐标为(3，-2)，
解方程组，解得或，所以A的坐标为(1，0)、B的坐标为(7，6)，∵时y=x-1=3-1=2，∴D的坐标为(3，2)，设抛物线的对称轴与轴的交点为E，则E的坐标为(3，0)，所以AE=BE=3，DE=CE=2，
① 假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形.
② (Ⅰ)设直线CD向右平移个单位(>0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x-1交于点M(3，2)，又∵D的坐标为(3，2)，C坐标为(3，-2)，∴D通过向下平移4个单位得到C.
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形.
(ⅰ)当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，
∴N坐标为(3，)，
又N在抛物线上，∴，
解得(不合题意，舍去)，，
(ⅱ)当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，
∴N坐标为(3，)，
又N在抛物线上，∴，
解得(不合题意，舍去)，，
(Ⅱ) 设直线CD向左平移个单位(>0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x-1交于点M(3，2)，又∵D的坐标为(3，2)，C坐标为(3，-2)，∴D通过向下平移4个单位得到C.
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形.
(ⅰ)当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，
∴N坐标为(3，)，
又N在抛物线上，∴，
解得(不合题意，舍去)，(不合题意，舍去)，
(ⅱ)当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，
∴N坐标为(3，)，
又N在抛物线上，∴，
解得，(不合题意，舍去)，
综上所述，直线CD向右平移2或()个单位或向左平移()个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
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